📊 積分
✏️ 積分とは
📌 積分の公式
| 公式 |
意味 |
| ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
指数に1を足して、新しい指数で割る |
| C は積分定数 |
微分すると消える定数 |
| ∫{f+g}dx = ∫fdx + ∫gdx |
各項を個別に積分 |
📖 例題と解説
例① ∫(3x² + 2x)dx = ?
∫3x²dx = 3 · x³/3 = x³
∫2x dx = 2 · x²/2 = x²
→ x³ + x² + C ✅
例② ∫[0→2] (3x² + 2x)dx = ?
ステップ１: 不定積分 = x³ + x²
ステップ２: [x³ + x²]₀²
= (2³ + 2²) - (0³ + 0²)
= (8 + 4) - (0 + 0)
= 12 ✅
📌 定積分のポイント
- ∫[a→b] f(x)dx = F(b) - F(a)
- F(x) は f(x) の不定積分
- 定積分では C は不要（差を取るので消える）
📝 例
| 問題 |
答え |
| ∫(3x² + 2x)dx = |
x³ + x² + C |
| ∫(2x³ - 4x)dx = |
(1/2)x⁴ - 2x² + C |
| ∫(x² + 3x + 2)dx = |
(1/3)x³ + (3/2)x² + 2x + C |
| ∫(4x³ + 6x²)dx = |
x⁴ + 2x³ + C |
💡 公式 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。∫3x²dx = 3·x³/3 = x³。積分定数 C を忘れずに！
📌 定積分
| 問題 |
答え |
| ∫[0→2] (3x² + 2x)dx = |
12 |
| ∫[1→3] (2x + 1)dx = |
10 |
| ∫[0→1] (x² + x)dx = |
5/6 |
💡 不定積分を求めて上端・下端の差。[x³+x²]₀² = (8+4)-(0+0) = 12