📈 二次関数
✏️ 二次関数とは
- y = ax² + bx + c の形
- グラフは 放物線 🪂
📖 例題と解説
例① y = x² - 4x + 5 の最小値
平方完成:
y = x² - 4x + 5
= (x² - 4x + 4) + 1
= (x - 2)² + 1
→ 頂点 (2, 1)
→ a=1 > 0 → 下に凸 ∪
→ 最小値 1（x=2のとき）✅
例② y = -x² + 6x - 5 の最大値
y = -(x² - 6x) - 5
= -(x² - 6x + 9) + 9 - 5
= -(x - 3)² + 4
→ 頂点 (3, 4)
→ a=-1 < 0 → 上に凸 ∩
→ 最大値 4（x=3のとき）✅
📌 標準形のポイント
| 項目 |
見方 |
| 頂点 |
y = a(x - p)² + q → (p, q) |
| 軸 |
x = p |
| a > 0 |
下に凸 ∪ → 最小値あり |
| a < 0 |
上に凸 ∩ → 最大値あり |
📝 例
| 問題 |
頂点 |
軸 |
| y = (x - 2)² + 1 |
(2, 1) |
x = 2 |
| y = (x + 3)² - 2 |
(-3, -2) |
x = -3 |
| y = 2(x - 1)² + 3 |
(1, 3) |
x = 1 |
| y = -(x + 2)² + 4 |
(-2, 4) |
x = -2 |
💡 y = a(x-p)² + q → 頂点 (p, q)、軸 x = p。(x+3)² = (x-(-3))² なので p=-3
📌 最大値・最小値
| 問題 |
最大値/最小値 |
そのときのx |
| y = x² - 4x + 5 |
最小値 1 |
x = 2 |
| y = -x² + 6x - 5 |
最大値 4 |
x = 3 |
| y = 2x² - 8x + 10 |
最小値 2 |
x = 2 |
💡 平方完成する。x²-4x+5 = (x-2)²+1 → 下に凸なので最小値 1（x=2）